顾荣

《数学中的问题探究》读书笔记2008-5-16

P19早在17世纪初作为思想家的笛卡尔就在他不朽著作《思想的法则》（1628）中提出下面的科学法则：

一切问题可以化为数学问题。

一切数学问题可以化为代数问题。

一切代数问题可以化为方程的求解问题。

P20绝对差减法也许对于小学低年级学生运算起来更加轻松。这种方法对于中学生，甚至教师也富有启发性。下面以例说明。

                 541                           4267

            —）127                      —） 2749  

                 42                             2  2 

            —）    6                    —） 5  2   

                 414                           1518

注：绝对差减法避免了小数减大数而作退位运算的复杂过程。

P48我们更关心的是怎样把数学探究这种研究性活动于数学教学结合起来，就其创造性思维的特点来说还是与数学家的真正的研究工作失职上没有太大的区别。

研究者通常把这种创造性的思维活动归结为知觉。

P50研究者P.J.Davis明确地总结出只觉得六个特点：

1．直觉是严格的反面（着重整体而忽略希杰）；

2．知觉意味着可见（产生某种直观形象）；

3．直觉是没有证明的似真性（带有主观性的特点）；

4．直觉意味着不完全（本质上是一种归纳推理）；

5．直觉依赖物理模型或某些重大例证（以启发诱导方式呈现）；

6．直觉意味着笼统式综合（与分析法相对立）。

以上六个特点，既包含知觉发生的随机不确定性的一面，也存在规则性的一面。教育研究则更多着眼于寻求通过一定的可操作方式，促进学生获得创造性知觉发生的可能性。正如Dieudonne所言“任何水平的数学教学的最终目的无疑是使学生对她索要处理的数学对象有一个可靠的直觉”。

从很多数学家的切身经验中可以了解到观察与想象是支撑知觉发生的重要因素。在数学家的思维过程中，观察占有重要的地位，并起着巨大的作用。

P51Lakatos则简单地把数学中那些突如其来得无法与人和逻辑相关联的创造性思维过程称为思想实验。

P52把这种数学探究中的观察与想象看成思想实验更有利于我们把创造性直觉发生的过程加以进一步的分析和考察，思想实验更接近于一种可以实际操作的过程。

P53像物理、化学等真正的实验科学一样，思想实验过程中的观察不仅仅是对所研究的对象纯粹的被动的感知，而是对存在物之间的关系和结构的洞察(insight)。因此思想实验区别于常规思想的重要特点是借助科学经验所产生的理性的想象力。思想实验过程中的观察与观察者内心的推理过程交互发生作用，观察者在观察的过程中不断形成对数学结构的和谐性规则的某种预料和猜测。观察者的注意力可能集中到事物的某一侧面，这样更有助于“发现”的产生。

几何图形通常是数学实验借以观察的对象，从这个意义上说数学对象的集合呈现形式使数学通向外在世界的桥梁。几何直观仍然是领舞数学的最有效的渠道，应当在各级学校尽可能地利用几何思想。

P55我们所生活的实际空间是三维的，因此大量的几何形象都是三维的空间形象，用平面图形来表达三维对象则首先要求一定的空间想象能力。任何立体图形画在平面上实际上是对应的立体在品尼高面上的某种投影。投影与案例可以使我们在平面上画出立体图形。

P59数学中的思想实验对象或观察对象也可能不是几何图形，代数式甚至纯粹的数字同样可以作维观察——发现的对象。在数学思维中严密与直观有时不能同时并存，特别是处在发现阶段，数学家常常更多地求助于直观和形象。

P62数学探究的一个必由途径是思想实验。思想实验是一个复杂的过程，它从观察入手，充分地应用想想象力，其微观过程十分复杂。